6.3.2 卷积基础

本节定位

卷积是 CNN 看图像的方式，它不会过早把空间结构压平成一长串数字。本页先看图，再手算卷积，最后用 nn.Conv2d 验证同样的概念。

学习目标

• 解释为什么太早 flatten 图像很浪费。
• 手算一个卷积输出值。
• 理解 kernel、stride、padding、channel 和 feature map。
• 用 PyTorch 验证输出 shape。
• 解释为什么堆叠卷积会扩大感受野。

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先看滑动窗口

按这个顺序读图：

小窗口 -> 和 kernel 逐元素相乘 -> 求和 -> 一个输出值 -> 滑动并重复

卷积核就是一个小型模式检测器。它不是一次看完整张图，而是扫描局部区域，并把得分写进 feature map。

为什么不先把图像 flatten？

一张 32 x 32 灰度图有 1024 个像素。如果接一个输出为 512 的全连接层，需要：

1024 * 512 = 524288 个权重

一张 224 x 224 x 3 彩色图有 150528 个输入值。朴素全连接层参数会爆炸，而且会忽略像素的位置关系。

卷积解决两个问题：

过早 flatten 的问题	卷积的做法
附近像素的空间关系丢失	看局部窗口
每个位置都需要单独权重	同一个 kernel 到处复用
参数数量增长很快	在整张图上共享参数

两个核心术语：

• 局部连接：每个输出只看一小块区域；
• 参数共享：同一个 kernel 扫描多个位置。

实验 1：手算卷积

import numpy as np

image = np.array(
    [
        [1, 2, 0, 0],
        [5, 3, 0, 4],
        [2, 1, 3, 1],
        [0, 2, 1, 2],
    ],
    dtype=np.float32,
)

kernel = np.array(
    [
        [1, 0],
        [0, -1],
    ],
    dtype=np.float32,
)

out = np.zeros((3, 3), dtype=np.float32)
for i in range(3):
    for j in range(3):
        patch = image[i : i + 2, j : j + 2]
        out[i, j] = np.sum(patch * kernel)

print("manual_conv_lab")
print(out)

预期输出：

manual_conv_lab
[[-2.  2. -4.]
 [ 4.  0. -1.]
 [ 0.  0.  1.]]

左上角输出值：

patch = [[1, 2],
         [5, 3]]

kernel = [[ 1,  0],
          [ 0, -1]]

score = 1*1 + 2*0 + 5*0 + 3*(-1) = -2

这就是卷积的核心计算。

实验 2：把 kernel 当边缘检测器

这个横向 kernel 会比较相邻像素从左到右的变化。

import numpy as np

image = np.array(
    [
        [0, 0, 0, 0, 0],
        [0, 0, 1, 1, 1],
        [0, 0, 1, 1, 1],
        [0, 0, 1, 1, 1],
        [0, 0, 0, 0, 0],
    ],
    dtype=np.float32,
)

kernel = np.array([[-1, 1]], dtype=np.float32)

out = np.zeros((5, 4), dtype=np.float32)
for i in range(5):
    for j in range(4):
        patch = image[i : i + 1, j : j + 2]
        out[i, j] = np.sum(patch * kernel)

print("edge_lab")
print(out)

预期输出：

edge_lab
[[0. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0.]]

1 出现在图像从 0 变成 1 的边界位置。这也是为什么早期 CNN 层经常学到类似边缘的滤波器。

Stride、Padding 和输出尺寸

术语	含义	影响
kernel_size	窗口大小	kernel 越大，看见的局部区域越大
stride	每次移动多远	stride 越大，输出越小
padding	给输入周围加边框	保留边缘信息并控制尺寸

单个空间维度的输出尺寸：

output = floor((input + 2*padding - kernel_size) / stride) + 1

例子：

input=6, kernel_size=3, padding=1, stride=2
output = floor((6 + 2*1 - 3) / 2) + 1 = 3

用 PyTorch 验证：

import torch
from torch import nn

x = torch.randn(1, 1, 6, 6)
conv = nn.Conv2d(
    in_channels=1,
    out_channels=2,
    kernel_size=3,
    stride=2,
    padding=1,
)
y = conv(x)

print("size_lab")
print("input:", tuple(x.shape))
print("output:", tuple(y.shape))

预期输出：

size_lab
input: (1, 1, 6, 6)
output: (1, 2, 3, 3)

shape 按 [batch, channels, height, width] 读。

多通道卷积

彩色图像有三个输入通道：红、绿、蓝。PyTorch 中一批 RGB 图像通常是：

[batch, 3, height, width]

RGB 图像上的 3 x 3 卷积核实际 shape 是：

[out_channels, in_channels, kernel_height, kernel_width]

运行：

import torch
from torch import nn

x = torch.randn(2, 3, 32, 32)
conv = nn.Conv2d(in_channels=3, out_channels=8, kernel_size=3, padding=1)
y = conv(x)

print("channel_lab")
print("input:", tuple(x.shape))
print("output:", tuple(y.shape))
print("weight:", tuple(conv.weight.shape))
print("bias:", tuple(conv.bias.shape))

预期输出：

channel_lab
input: (2, 3, 32, 32)
output: (2, 8, 32, 32)
weight: (8, 3, 3, 3)
bias: (8,)

解释：

• 2：batch 里有两张图；
• 3：RGB 输入通道；
• 8：八个学到的输出 feature map；
• (8, 3, 3, 3)：八个 kernel，每个都看三个输入通道。

感受野：CNN 如何随深度看得更大

一层 3 x 3 卷积只能看很小的局部区域。如果堆叠多层，后面的特征会间接依赖原图中更大的区域。

直觉：

层深度	常学到什么
浅层	边缘、颜色变化、纹理
中层	角点、简单形状、部件
深层	更大的物体部件和语义模式

这就是 CNN 适合图像的原因：小局部线索可以逐层组合成更大的视觉概念。

基础 Conv2d 检查清单

import torch
from torch import nn

x = torch.randn(1, 1, 8, 8)
conv = nn.Conv2d(
    in_channels=1,
    out_channels=4,
    kernel_size=3,
    stride=1,
    padding=1,
)
y = conv(x)

print("conv2d_lab")
print("input:", tuple(x.shape))
print("output:", tuple(y.shape))
print("weight:", tuple(conv.weight.shape))
print("bias:", tuple(conv.bias.shape))

预期输出：

conv2d_lab
input: (1, 1, 8, 8)
output: (1, 4, 8, 8)
weight: (4, 1, 3, 3)
bias: (4,)

读任何 Conv2d 时，先问：

1. 输入 shape [N, C, H, W] 是什么？
2. in_channels 是否等于输入的 C？
3. out_channels 会创建多少个 feature map？
4. kernel_size、stride、padding 会怎样改变 H 和 W？

常见错误

错误	为什么有问题	修复
在 PyTorch 里用 [H, W, C]	PyTorch 期待 [N, C, H, W]	从图像库转换时用 permute
in_channels 写错	Conv2d 接不上输入	层前打印 x.shape
忘记 padding	feature map 意外变小	计算输出尺寸或打印 shape
把卷积当魔法	很难调试 feature	记住 patch * kernel -> sum
太早 flatten	空间结构丢失	先用 conv block，再接 classifier head

练习

1. 改变手写 2 x 2 kernel，观察输出如何变化。
2. 手算实验 1 的 out[1, 0]，和输出对照。
3. 把 size lab 里的 stride 改成 1，输出 shape 变成什么？
4. 把 channel lab 里的 out_channels 改成 16，哪些 shape 会变？
5. 用 permute 把图像样式张量从 [N, H, W, C] 转成 [N, C, H, W]。

小结

• 卷积比过早 flatten 更能保留局部空间结构。
• kernel 是在不同位置共享的小型模式检测器。
• stride 和 padding 控制 kernel 如何移动，以及输出尺寸如何变化。
• 多通道卷积会综合多个输入通道的信息。
• 堆叠卷积层会扩大感受野，并建立视觉层级。